Conan Ledesma del Cadice è sceso in campo nella maggior parte delle partite del suo club in LaLiga nel 2023/2024, avendo collezionato 29 presenze, per un totale di 2599 minuti. É partito titolare in tutte le 29 presenze, su 32 giornate.
La sua ultima apparizione nella competizione è stata il 20 aprile, partita in cui ha giocato 90 minuti con la maglia del Cadice contro il Girona, nella sconfitta per 4-1. Ha mantenuto 6 volte la porta inviolata in questa stagione.
Il Cadice si trova al 18° posto in classifica, con 25 punti, e nella prossima partita di LaLiga, il 28 aprile, dovrà giocare una gara casalinga contro il Maiorca.
Nell'ultima stagione con il Cadice in Primera División Ledesma ha collezionato 34 presenze, gare in cui ha mantenuto 12 volte la porta inviolata.
An agosto 2020 Ledesma, in quel periodo giocatore del Rosario Central, ha iniziato a giocare per il Cadice in prestito. Ha collezionato 67 presenze in campionato in totale con il Rosario Central. Il suo passaggio a giocatore del Cadice è stato definitivo a luglio 2021.
Ha esordito in LaLiga con il Cadice l'1 ottobre 2020, come titolare, contro l'Athletic Bilbao all'età di 27 anni e 230 giorni. Conta in totale 133 presenze nella competizione, in cui ha ottenuto 40 clean sheet.