Nika Kvekveskiri è un centrocampista Lech Poznań che ha giocato 12 partite di Ekstraklasa nel 2020/2021 dopo aver raggiunto il club il 29 gennaio 2021, essendo partito titolare in 6 di queste ed essendo stato utilizzato a partita in corso 6 volte.
Kvekveskiri ha collezionato la sua ultima presenza il 16 maggio, con Lech Poznań: un pareggio per 1-1 contro Górnik Zabrze, in cui ha giocato 90 minuti.
Nell'ultima stagione con Tobol in Premier League Kvekveskiri ha collezionato 22 presenze, realizzando 2 gol.
Prima di arrivare a vestire la maglia Lech Poznań nel gennaio 2021, il centrocampista ha collezionato 75 presenze in campionato con Tobol, per un totale di 5 gol.