Il portiere del Genoa Josep Martínez è sceso in campo nella maggior parte delle gare della sua squadra in Serie A nel 2023/2024, avendo collezionato 31 presenze, per un totale di 2790 minuti. É stato scelto nell'11 iniziale in tutte le 31 presenze, su 32 giornate.
Il portiere ha giocato la sua ultima gara il 15 aprile, con il Genoa: un pareggio per 1-1 contro la Fiorentina, in cui ha giocato 90 minuti. Ha mantenuto 7 volte la porta inviolata in questa stagione. Ha ricevuto 1 cartellino rosso.
Il Genoa occupa il 12° posto nella classifica stagionale, con 39 punti, e nella prossima partita di Serie A, il 19 aprile, dovrà giocare una gara casalinga contro la Lazio.
Nell'ultima stagione con il Genoa in Serie B Martínez ha collezionato 30 presenze, gare in cui ha mantenuto 17 volte la porta inviolata.
A luglio 2022 Martínez, in quel periodo giocatore dell'RB Lipsia, ha iniziato a giocare per il Genoa in prestito. Ha collezionato due presenze in campionato in totale con l'RB Lipsia. Il suo passaggio a giocatore del Genoa è stato definitivo a luglio 2023.
Il giocatore di 25 anni conta 31 partite in totale in Serie A, avendo giocato la sua prima partita il 19 agosto 2023 come titolare contro la Fiorentina, all'età di 25 anni e 84 giorni.